Tìm giá trị của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
1. Cách tìm giá trị x để biểu thức nhận giá trị nguyên
Phương pháp 1: Đưa biểu thức về dạng phân thức mà chứa tử thức là số nguyên, tìm giá trị của biến để mẫu thức là ước của tử thức.
Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng 
trong đó f(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên.
Bước 2: Áp dụng điều kiện cùng với các bất đẳng thức đã được, chứng minh m < A < M trong đó m, M là các số nguyên.
Bước 3: Trong khoảng từ m đến M, tìm các giá trị nguyên.
Bước 4: Với mỗi giá trị nguyên ấy, tìm giá trị của biến x
Bước 5: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp rồi kết luận.
Phương pháp 2: Đánh giá khoảng giá trị của biểu thức, từ khoảng giá trị đó ra có các giá trị nguyên mà biểu thức có thể đạt được.
Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
Bước 2: Rút gọn biểu thức A.
Bước 3: Đánh giá khoảng giá trị mà biểu thức A có thể đạt được, từ khoảng giá trị đó ta có các giá trị nguyên mà biểu thức A có thể đạt được.
Bước 4: Giải phương trình vế trái là biểu thức A đã rút gọn, vế phải là các giá trị nguyên nằm trong miền giá trị của A, đối chiếu điều kiện và kết luận.
Phương pháp 3: Đặt biểu thức bằng một tham số nguyên, tìm khoảng giá trị của tham số, từ khoảng giá trị đó ta xét các giá trị nguyên của tham số, giải ra tìm ẩn.
Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa
Bước 2: Rút gọn biểu thức A
Bước 3: Đánh giá khoảng giá trị mà biểu thức A có thể đạt được, từ khoảng giá trị đó ta có các giá trị nguyên mà biểu thức A có thể đạt được
Bước 4: Giải phương trình vế trái là biểu thức A đã rút gọn, vế phải là các giá trị nguyên nằm trong miền giá trị của A, đối chiếu điều kiện và kết luận.
2. Ví dụ tìm x nguyên để biểu thức đạt giá trị nguyên
Hướng dẫn giải
a. Điều kiện xác định:
Ta có:
Với
Ta có bảng giá trị sau:
1
2
3
4
5
x
16
2,25
0
Kết luận: thì A nhận giá trị nguyên.
b. Điều kiện xác định:
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Từ (*) và (**)
Mà C nhận giá trị nguyên
Vậy với x = 0 thì C nhận giá trị nguyên
Hướng dẫn giải
a) Với a ≥ 0 và a ≠ 9 ta có:
b) Ta có: khi và chỉ khi 11 chia hết cho a – 9 (hay a – 9 là ước của 11).
Ta có: Ư(11) = {-11; -1; 1; 11}
Ta có bảng số liệu như sau:
a – 9-11-1111a-2(L)81020
Quan sát bảng số liệu trên suy ra a ∈ {8; 10; 20}
Vậy biểu thức A đạt giá trị nguyên khi và chỉ khi a ∈ {8; 10; 20}.
Hướng dẫn giải
a) Rút gọn biểu thức ta được kết quả:
b) Ta có:
Vậy các giá trị nguyên của M có thể đạt được là 1 và 2
Với M = 1 ta có:
Với M = 2 ta có:
Vậy biểu thức M = A. B nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi x = 16 hoặc x = 1/4.
Hướng dẫn giải
a) Học sinh thực hiện rút gọn biểu thức, ta có kết quả:
b) Học sinh tham khảo một trong các cách làm dưới đây:
Cách 1: Với 0,x ne 1″ width=”98″ height=”20″ data-type=”0″ data-latex=”x > 0,x ne 1″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=x%20%3E%200%2Cx%20%5Cne%201″> ta có: sqrt x + 1 > 1″ width=”209″ height=”23″ data-type=”0″ data-latex=”x + sqrt x + 1 > sqrt x + 1 > 1″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=x%20%2B%20%5Csqrt%20x%20%20%2B%201%20%3E%20%5Csqrt%20x%20%20%2B%201%20%3E%201″>
Vậy 0 < A
Vì A nguyên nên A = 1 => x = 1 (Không thỏa mãn)
Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giá trị A là một số nguyên.
Cách 2: Dùng miền giá trị
Trường hợp 1: Nếu A = 0
Trường hợp 2: Nếu A khác 0
0 hfill \ end{matrix}” width=”479″ height=”125″ data-type=”0″ data-latex=”begin{matrix} Rightarrow Delta = {left( {A – 1} right)^2} – 4Aleft( {A – 2} right) = – 3{A^2} + 6A + 1 geqslant 0 hfill \ Leftrightarrow {A^2} – 2A – dfrac{1}{3} leqslant 0 Leftrightarrow {A^2} – 2A + 1 leqslant dfrac{4}{3} Leftrightarrow {left( {A – 1} right)^2} leqslant dfrac{4}{3} hfill \ Rightarrow A in left{ {1;2} right} hfill \ A in mathbb{Z},A > 0 hfill \ end{matrix}” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%20%20%5CRightarrow%20%5CDelta%20%20%3D%20%7B%5Cleft(%20%7BA%20-%201%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20-%204A%5Cleft(%20%7BA%20-%202%7D%20%5Cright)%20%3D%20%20-%203%7BA%5E2%7D%20%2B%206A%20%2B%201%20%5Cgeqslant%200%20%5Chfill%20%5C%5C%20%20%20%5CLeftrightarrow%20%7BA%5E2%7D%20-%202A%20-%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%5Cleqslant%200%20%5CLeftrightarrow%20%7BA%5E2%7D%20-%202A%20%2B%201%20%5Cleqslant%20%5Cdfrac%7B4%7D%7B3%7D%20%5CLeftrightarrow%20%7B%5Cleft(%20%7BA%20-%201%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%5Cleqslant%20%5Cdfrac%7B4%7D%7B3%7D%20%5Chfill%20%5C%5C%20%20%20%5CRightarrow%20A%20%5Cin%20%5Cleft%5C%7B%20%7B1%3B2%7D%20%5Cright%5C%7D%20%5Chfill%20%5C%5C%20%20A%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D%2CA%20%3E%200%20%5Chfill%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D”>
Với A = 1 => x = 1 (Loại)
Với A = 2 => x = 0 (Loại)
Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giá trị A là một số nguyên.
Hướng dẫn giải
a) Do a > 0, a ≠ 0 nên
Và
Do a > 0, a ≠ 0 nên 0 Rightarrow a + 1 > 2sqrt a” width=”245″ height=”27″ data-type=”0″ data-latex=”{left( {sqrt a – 1} right)^2} > 0 Rightarrow a + 1 > 2sqrt a” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%7B%5Cleft(%20%7B%5Csqrt%20a%20%20-%201%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%3E%200%20%5CRightarrow%20a%20%2B%201%20%3E%202%5Csqrt%20a”>
=> frac{{2sqrt a }}{{sqrt a }} + 2 = 4″ width=”152″ height=”50″ data-type=”0″ data-latex=”M > frac{{2sqrt a }}{{sqrt a }} + 2 = 4″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=M%20%3E%20%5Cfrac%7B%7B2%5Csqrt%20a%20%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20a%20%7D%7D%20%2B%202%20%3D%204″>
b) Ta có: do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1
mà N = a =>
Vậy N nguyên khi và chỉ khi
Hướng dẫn giải
a)
b) Xét hiệu 0″ width=”377″ height=”53″ data-type=”0″ data-latex=”1 – A = 1 – frac{{2sqrt x }}{{x – 2sqrt x + 4}} = frac{{{{left( {sqrt x – 2} right)}^2}}}{{x – 2sqrt x + 4}} > 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=1%20-%20A%20%3D%201%20-%20%5Cfrac%7B%7B2%5Csqrt%20x%20%7D%7D%7B%7Bx%20-%202%5Csqrt%20x%20%20%2B%204%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7B%7B%7B%5Cleft(%20%7B%5Csqrt%20x%20%20-%202%7D%20%5Cright)%7D%5E2%7D%7D%7D%7B%7Bx%20-%202%5Csqrt%20x%20%20%2B%204%7D%7D%20%3E%200″>
Với mọi => A < 1 (điều phải chứng minh)
c) Ta có: 0″ width=”273″ height=”27″ data-type=”0″ data-latex=”x – 2sqrt x + 4 = {left( {sqrt x – 1} right)^2} + 3 > 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=x%20-%202%5Csqrt%20x%20%20%2B%204%20%3D%20%7B%5Cleft(%20%7B%5Csqrt%20x%20%20-%201%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%2B%203%20%3E%200″>với mọi
=>
3. Bài tập vận dụng tìm giá trị của x để biểu thức có giá trị nguyên
Bài 1: Tìm giá trị của x để các biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên:
a.
b.
c.
d.
e.
Bài 2: Cho biểu thức:
a.Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9
b. Tính biểu thức C = A – B
c. Tìm giá trị của x để C đạt giá trị nguyên
Bài 3: Cho biểu thức:
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm x để A nhận giá trị nguyên.
Bài 4: Cho hai biểu thức:
a) Tính A khi x = 25.
b) Rút gọn S = A . B.
c) Tìm x để S nhận giá trị nguyên.
Bài 5: Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
c) Tìm x để biểu thức nhận giá trị là số nguyên.
Bài 6: Cho biểu thức:
0,x ne 1} right)” width=”635″ height=”50″ data-type=”0″ data-latex=”B = left( {frac{{2x + 1}}{{xsqrt x – 1}} – frac{{sqrt x }}{{x + sqrt x + 1}}} right)left( {frac{{1 + xsqrt x }}{{1 + sqrt x }} – sqrt x } right) + frac{{2 – 2sqrt x }}{{sqrt x }};left( {x > 0,x ne 1} right)” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=B%20%3D%20%5Cleft(%20%7B%5Cfrac%7B%7B2x%20%2B%201%7D%7D%7B%7Bx%5Csqrt%20x%20%20-%201%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B%7B%5Csqrt%20x%20%7D%7D%7B%7Bx%20%2B%20%5Csqrt%20x%20%20%2B%201%7D%7D%7D%20%5Cright)%5Cleft(%20%7B%5Cfrac%7B%7B1%20%2B%20x%5Csqrt%20x%20%7D%7D%7B%7B1%20%2B%20%5Csqrt%20x%20%7D%7D%20-%20%5Csqrt%20x%20%7D%20%5Cright)%20%2B%20%5Cfrac%7B%7B2%20-%202%5Csqrt%20x%20%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20x%20%7D%7D%3B%5Cleft(%20%7Bx%20%3E%200%2Cx%20%5Cne%201%7D%20%5Cright)”>
1. Rút gọn biểu thức B
2. Tìm x để:
a) B = 0
b)
3. Tìm x để B nhận giá trị nguyên.
Bài 7: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để |A| > 0
c) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
Bài 8: Cho biểu thức
(với 0, xne4″ width=”89″ height=”15″ data-latex=”x>0, xne4″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=x%3E0%2C%5C%20x%5Cne4″>)
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tim các giá trị nguyên của x để biểu thức đạt giá trị nguyên.
Bài 9:
Cho hai biểu thức và với
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25.
b) Chứng minh
c) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị là số nguyên.
–
Tài liệu liên quan:
- Trục căn thức ở mẫu Toán 9
- Rút gọn biểu thức chứa căn Toán 9
- Không giải phương trình tính giá trị biểu thức
- Tìm x để A = 2
- Tính giá trị của biểu thức tại x = a
- Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên
- Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn
–
Hy vọng tài liệu Cách tìm x nguyên để biểu thức nguyên Toán 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi biểu thức chứa căn đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!
Câu hỏi mở rộng củng cố kiến thức:
- Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH
- Từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB của (O) (với A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MDE không qua tâm O (D, E thuộc (O), D nằm giữa M và E).
- Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự tính trước. Sau khi đi được nửa quãng đường, xe máy tăng thêm 10km/h vì vậy xe máy đến B sớm hơn 30 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của xe máy, biết quãng đường AB dài 120km.
- Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124
- Một ôtô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với quy định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của oto tại A.
- Giải bài toán cổ sau Quýt, cam mười bảy quả tươi Đem chia cho một trăm người cùng vui
- Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng chuyển động
- Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m. Người ta làm 1 lối đi xung quanh vườn ( thuộc đất của vườn) rộng 2m. Diện tích còn lại để trồng trọt là 4256m2 . Tìm diện tích vườn lúc đầu.
- Hai ô tô đi ngược chiều từ A đến B, xuất phát không cùng lúc
- Cho tam giác ABC vuông tại A. trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:a. ABCD là một tứ giác nội tiếpb. c. CA là tia phân giác của góc SCB.
- Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I, K là một điểm nằm bất kì trên đoạn thẳng CI (K khác C và I) tia AK cắt nửa đường tròn O tại M tia BM cắt tia CI tại D.Chứng minh:a) Các tứ giác ACMD, BCKM nội tiếp đường trònb) CK.CD = CA.CBc) Gọi N là giao điểm của AD và đường tròn O chứng minh B, K, N thẳng hàngd) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI
