Tổng ôn tập số phức – full lý thuyết và bài tập

Tổng ôn tập số phức - full lý thuyết và bài tập

Trước khi đi vào chi tiết lý thuyết và các bài tập về toán số phức lớp 12, các em cùng đọc bảng sau đây để hiểu về độ khó và các vùng kiến thức liên quan khi ôn tập nhé!

tổng quan về số phức

Nhằm giúp các em ôn tập nhanh và nắm kiến thức chắc hơn, VUIHOC gửi tặng file tổng hợp lý thuyết số phức lớp 12 siêu đầy đủ và chi tiết tại link dưới đây. Em nhớ lưu về để dùng dần nhé!

Tải xuống file tổng hợp toàn bộ lý thuyết số phức đầy đủ

1. Tổng hợp lý thuyết toán số phức lớp 12

1.1. Số phức là gì?

Trong chương trình đại số THPT, các em đã được làm quen với số phức và các dạng số phức. Trong phần này, VUIHOC cùng các em ôn lại lý thuyết cũng như một số dạng số phức cơ bản thường gặp trong chương trình học và các bài tập.

Số phức (dạng đại số) sẽ có dạng: $z=a+bi$ , trong đó a, b là các số nguyên, a được gọi là phần thực, $b$ được gọi là phần ảo. Và i được xem là đơn vị ảo, qui ước $i^2=-1$

Tập hợp số phức được kí hiệu là C.

Nếu $z$ là số thực thì phần ảo $b=0$, ngược lại, nếu z là số thuần ảo thì phần thực của z là a=0.

Xét hai số phức $z=a+bi$ và $z’=a’+b’i$, đối với số phức, ta chỉ xét xem hai số phức có bằng nhau hay không. Điều kiện 2 số phức bằng nhau $z=z’$ khi và chỉ khi $a=a’,b=b’$

Số phức được biểu diễn hình học như sau:

Cho số phức $z=a+bi$ (a,b nguyên). Xét trong mặt phẳng phức $Oxy$, số phức $z$ sẽ được biểu diễn bởi điểm $M(a;b)$ hoặc bởi vectơ $u=(a;b)$. Chú ý ở mặt phẳng phức, trục $Ox$ còn được gọi là trục thực, trục $Oy$ gọi là trục ảo.

biểu diễn hình học của số phức

1.2. Các dạng sô phức điển hình

Khi học về số phức, ta cần chú ý đến 4 dạng điển hình sau:

  • Hai số phức bằng nhau: $a+bi=c+di$ => $a=c$ và $b=d$

  • Số phức liên hợp: Cho số phức dưới dạng đại số $z=a+bi$, số phức $z=a-bi$ được gọi là số phức liên hợp của $z$.

  • Một số tính chất của số phức liên hợp:

tính chất số phức liên hợp

  • Modun của số phức: Có thể hiểu modun của số phức $z=a+bi$ là độ dài của vectơ $u(a,b)$ biểu diễn số phức đó.

  • Dạng lượng giác của số phức:

>> Xem thêm bài viết: Lý thuyết số phức và cách giải các dạng bài tập cơ bản

2. Các phép tính và công thức số phức lớp 12

Để giải các bài tập số phức 12, các em cần nắm vững các công thức cộng trừ nhân chia số phức cơ bản. Dưới đây, VUIHOC đã tổng hợp cho các em toàn bộ công thức số phức cần nhớ để sử dụng trong các bài tập, các em nhớ chép về hoặc tải file tổng hợp lý thuyết toán số phức lớp 12 ở đầu bài viết nhé!

Công thức cộng và trừ số phức toán 12:

  • (a + bi) + (a’ + b’i) = (a + a’) + (b + b’)i
  • (a + bi) – (a’ + bi) = (a – a’) + (b – b’) i
  • Số đối của z = a + bi là -z = -a – bi
  • biểu diễn z, biểu diễn z’ thì sẽ biểu diễn z + z’ và biểu diễn z – z’

Công thức nhân hai số phức toán 12:

  • (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i
  • k(a + bi) = ka + kbi (k R)

Công thức chia hai số phức lớp 12:

Công thức căn bậc hai của số phức:

  • z = x + yi là căn thức bậc hai của số phức w = a + bi
  • w = 0 có duy nhất 1 căn bậc hai là z = 0
  • w 0 chỉ có đúng hai căn bậc hai đối nhau
  • Hai căn bậc hai của a > 0 là
  • Hai băn bậc 2 của a < 0 là

Đăng ký ngay để nhận bộ tài liệu nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán thi THPT Quốc gia

2. Tổng hợp 3 dạng bài tập toán số phức lớp 12 thường gặp

2.1. Dạng tìm số phức thỏa mãn đẳng thức

Ví dụ 1: Tìm các số thực x, y sao cho đẳng thức sau là đúng:

a) 5x+y+5xi =2y-1+(x-y)i

b) (-3x+2y)i+(2x-3y+1)=(2x+6y-3)+(6x-2y)i

Hướng dẫn:

a) Ta xem xét mỗi vế là một số phức, như vậy điều kiện để 2 số phức 12 bằng nhau là phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo.

Ta có: 5x+y=2y-1; 5x=x-y, suy ra ;

b) Câu này tương tự câu trên, các bạn cứ việc đồng nhất phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo là sẽ tìm ra được đáp án.

Ví dụ 2: Tìm số phức biết:

a) |z|=5 và

b) |z|=8 và phần thực của z bằng 5 lần phần ảo của z.

Hướng dẫn:

a) Giả sử z=a+bi, suy ra . Khi đó:

; a=a; b=-b (do )

suy ra $b=0, a=5$

Vậy có 2 số phức z thỏa đề bài là z=5 và z=-5

b) Hướng đi là lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, từ đó giải tìm ra được phần thực và phần ảo của số phức z.

Như vậy, cách để giải quyết dạng này là dựa vào các tính chất của số phức toán 12, ta lập các hệ phương trình để giải, tìm ra phần thực và ảo của số phức đề bài yêu cầu.

2.2. Dạng căn bậc hai và phương trình số phức 12

Cho số phức z=a+bi, số phức w=x+yi được gọi là căn bậc hai của z nếu , hay nói cách khác:

Như vậy để tìm căn bậc 2 của một số phức, ta sẽ giải hệ phương trình (*) ở đã nêu ở trên.

Ví dụ: Tìm giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm z1; z2 thỏa đẳng thức

Hướng dẫn:

Chú ý, đối với phương trình bậc 2 thì hệ thức Vi-et về nghiệm luôn được sử dụng. Như vậy ta có:

Theo đề bài:

Đến đây, bài toán quy về tìm căn bậc hai cho 1 số phức. Áp dụng phần kiến thức đã nêu ở trên, ta giải hệ sau: gọi m=a+bi, suy ra ta có hệ:

=> (a,b)=(1,-1) hoặc (a,b)=(-1,1).

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn đề bài.

Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi tốt nghiệp THPT sớm ngay từ bây giờ

2.3. Dạng tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện cho trước trên mặt phẳng phức

Để giải dạng bài tập này, các bạn phải vận dụng một số kiến thức toán số phức lớp 12 hình học giải tích bao gồm phương trình đường thẳng, đường tròn, parabol…, chú ý công thức tính module của số phức, nó sẽ giúp ích rất nhiều cho các bạn khi quỹ tích liên quan đến hình tròn hoặc parabol.

– Số phức $z$ thỏa mãn điều kiện độ dài, chú ý cách tính module:

– Nếu số phức z là số thực, a = 0.

– Nếu số phức z là số thuần ảo, b = 0

Ví dụ: Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn:

a) có phần thực là 3.

b) |z – 1 + 2i| = 3

Hướng dẫn:

a) Gọi M(x,y) là điểm cần tìm. Khi đó: với:

Để phần thực là 3, tức là a = 3, suy ra:

2×2 + 2y2 – 5y + 2 = 3(x2 + y2 – 4y + 4)

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm có bán kính

b) M(x,y) là điểm biểu diễn của z, gọi N là điểm biểu diễn của số phức z = 1 – 2i,

suy ra N(1,-2).

Theo đề bài, |z-z2| = 3, suy ra MN = 3

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn đề là đường tròn tâm N(1;-2) bán kính R = 3.

3. Bài tập luyện tập số phức

Để thành thạo các dạng bài tập về số phức toán 12, VUIHOC tặng các em file bài tập luyện tập số phức lớp 12 cực đầy đủ các dạng kèm giải chi tiết rất hay. Đừng quên lưu về làm tài liệu học tập hằng ngày nhé!

Ngoài ra, thầy Thành Đức Trung cũng có bài giảng rất hay về số phức 12. Trong đó, thầy có chia sẻ các bí kíp giải nhanh số phức cũng như các cách bấm casio số phức rất tiện lợi. Các em đừng bỏ qua video dưới đây để học thêm nhiều tips hay từ thầy Trung nhé!

Trên đây là toàn bộ kiến thức bao gồm lý thuyết và hướng dẫn làm các bài tập toán số phức lớp 12. Chúc các em luôn ôn tập tốt!

>> Xem thêm: Đầy đủ lý thyết và bài tập số phức modun