Hệ số tự do là gì? Cách tìm & các dạng toán ứng dụng – VOH

Chúng ta đã được học về hệ số cao nhất của đa thức một biến. Vậy như thế nào là hệ số tự do của đa thức một biến? Và cách để tìm hệ số tự do là gì? Cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu qua bài viết sau đây nhé.

1. Hệ số tự do là gì?

Hệ số tự do là hệ số của lũy thừa bậc 0. Hay nói cách khác, hệ số tự do là hệ số không chứa biến

Ví dụ: Đa thức 3t7 – 3t + 1 có hệ số tự do là 1 vì 1 là hệ số của lũy thừa bậc 0.

2. Cách tìm hệ số tự do của đa thức một biến

Để xác định hệ số tự do, ta làm như sau:

  • Bước 1: Viết đa thức dưới dạng đa thức thu gọn
  • Bước 2: Tìm hệ số của lũy thừa bậc 0

Hệ số đó chính là hệ số tự do cần tìm.

Ví dụ: Tìm hệ số tự do của đa thức V(x) = -4x – 3

Giải:

Ta có: V(x) = -4x – 3 = -4×1 – 3×0

Suy ra, hệ số của lũy thừa bậc 0 là -3

Vậy hệ số tự do của V(x) là -3

3. Bậc của hệ số tự do

Hệ số tự do luôn có bậc bằng 0.

4. Các dạng bài tập về hệ số tự do của đa thức một biến

4.1. Xác định hệ số tự do của đa thức một biến

*Phương pháp giải:

Dựa vào cách xác định hệ số tự do của đa thức một biến đã trình bày ở phần I.

Ví dụ: Tìm hệ số tự do của các đa thức sau:

a. R(u) = 7u5 – 2u3 – 9 + u3 + 1

b. B(u) = -6 + u7 – 3u5 + 1 – 2u7

Giải:

a. Ta có:

R(u) = 7u5 – 2u3 – 9 + u3 + 1 = 7u5 + (- 2u3 + u3 ) + (1 – 9) = 7u5 -u3 – 8 = 7u5 -u3 – 8u0.

Hê số của lũy thừa bậc 0 là -8

Vậy hệ số tự do của R(u) là -8

b. Ta có:

B(u) = -6 + u7 – 3u5 + 1 – 2u7 = (u7 – 2u7) – 3u5 + (-6 + 1) = -u7 – 3u5 – 5 = -u7 – 3u5 – 5u0

Hệ số của lũy thừa bậc 0 là -5

Vậy hệ số tự do của B(u) là -5

4.2. Cho biết giá trị của đa thức và giá trị của biến. Tìm giá trị của hệ số tự do

*Phương pháp giải:

Thay giá trị của đa thức và giá trị của biến vào đa thức để tìm hệ số tự do.

Ví dụ: Tìm hệ số tự do c của đa thức D(y) = 7y3 + 3y – c, biết D(y) = 5 và y = 2

Giải:

Thay D(y) = 5 và y = 2 vào đa thức, ta có:

D(y) = 7y3 + 3y – c

⇔ 5 = 7.(2)3 + 3.2 – c

⇔ 5 = 62 – c

⇔ c = 62 – 5 = 57

Vậy hệ số tự do cần tìm là c = 57

5. Bài tập vận dụng hệ số tự do của đa thức một biến

Bài 1: Xác định hệ số tự do của các đa thức sau:

a. -2t3 + 5t4 – a + 7t4 + t2 – 1, a là hằng số

b. -5t7 + 3t5 – t0 + 2t6 + 3

c. -t0 + 2t8 + t9 + 9t8 – 8t0

ĐÁP ÁN

a. Ta có:

-2t3 + 5t4 – a + 7t4 + t2 – 1

= -2t3 + 5t4 – at0 + 7t4 + t2 – 1t0

= -2t3 + (5t4 + 7t4) + t2 + (-at0 – 1t0)

= -2t3 + 12t4 + t2 + (-a – 1)t0

Suy ra hệ số của lũy thừa bậc 0 của đa thức trên là -a – 1

Vậy hệ số tự do của đa thức là -a – 1

b. Ta có:

-5t7 + 3t5 – t0 + 2t6 + 3

= -5t7 + 3t5 – t0 + 2t6 + 3t0

= -5t7 + 3t5 + 2t6 + (3t0 – t0)

= -5t7 + 3t5 + 2t6 + 2t0

Suy ra hệ số của lũy thừa bậc 0 của đa thức trên là 2

Vậy hệ số tự do của đa thức là 2

c. Ta có:

-t0 + 2t8 + t9 + 9t8 – 8t0

= (-t0 – 8t0) + (2t8 + 9t8) + t9

= -9t0 + 11t8 + t9

Suy ra hệ số của lũy thừa bậc 0 của đa thức là -9

Vậy hệ số tự do của đa thức là -9

Bài 2: Cho đa thức S(u) = 4u3 – 1 + u3 – 5u2 + 2u4 – 2 – c, c là hằng số

a. Hãy rút gọn S(u)

b. Tìm c, biết giá trị của đa thức và giá trị của biến lần lượt là -57 và 3

c. Hệ số tự do của đa thức trên có giá trị bằng bao nhiêu?

ĐÁP ÁN

a. Ta có:

S(u) = 4u3 – 1 + u3 – 5u2 + 2u4 – 2 – c

= (4u3 + u3) – 5u2 + 2u4 + (-1 – 2 – c)

= 5u3 – 5u2 + 2u4 + (-3 – c)

Vậy S(u) = 5u3 – 5u2 + 2u4 + (-3 – c)

b. Giá trị của đa thức và giá trị của biến lần lượt là -57 và 3, tức là: S(u) = -57 và u = 3

Khi đó, ta thay S(u) = -57 và u = 3 vào đa thức S(u) đã được thu gọn, ta được:

S(u) = 5u3 – 5u2 + 2u4 + (-3 – c)

⇔ -57 = 5.33 – 5.32 + 2.34 + (-3 – c)

⇔ -57 = 252 + (-3 – c)

⇔ -57 – 252 = -3 – c

⇔ -309 = -3 – c

⇔ c = 306

Vậy c = 306

c. Thay c = 306 vào đa thức S(u) = 5u3 – 5u2 + 2u4 + (-3 – c),ta được:

S(u) = 5u3 – 5u2 + 2u4 + (-3 – c)

= 5u3 – 5u2 + 2u4 + (-3 – 306)

= 5u3 – 5u2 + 2u4 – 309

= 5u3 – 5u2 + 2u4 – 309u0

Suy ra hệ số của lũy thừa bậc 0 của S(u) là -309

Vậy hệ số tự do của đa thức trên là -309

Bài 3: Đề bài yêu cầu tìm hệ số tự do của đa thức C(t) = -9t10 + t3 – 4t0 + 4 – 5t0

Hai bạn Hải và Trinh làm như sau:

Bạn Hải:

Ta có: C(t) = -9t10 + t3 – 4t0 + 4 – 5t0 = -9t10 + t3 + (-4t0 – 5t0) + 4 = -9t10 + t3 – 9t0 + 4

Hệ số của lũy thừa bậc 0 là -9

Vậy hệ số tự do của C(t) là -9

Bạn Trinh:

Ta có: C(t) = -9t10 + t3 – 4t0 + 4 – 5t0

= -9t10 + t3 – 4.1 + 4 – 5.1

= -9t10 + t3 + (- 4.1 + 4 – 5.1)

= -9t10 + t3 + (-5)

= -9t10 + t3 – 5t0

Hệ số của lũy thừa bậc 0 là -5

Vậy hệ số tự do của C(t) là -5

Theo em, bài làm của bạn nào đúng? bạn nào sai? Vì sao?

ĐÁP ÁN

Theo em, bài làm của bạn Trinh đúng, bài làm của bạn Hải sai.

Vì lũy thừa bậc 0 của đa thức trên gồm – 4t0; 4; – 5t0, số 4 chúng ta có thể viết thành 4t0.

Nhìn vào bài làm của hai bạn, ta thấy:

Bài làm của bạn Hải chỉ xác định được 2 lũy thừa bậc 0 là -4t0 và -5t0 mà thiếu mất 4 cũng là lũy thừa bậc 0 của đa thức nên dẫn đến việc xác định hệ số của lũy thừa bậc 0 bị sai và kết quả hệ số tự do cũng bị sai.

Bài làm cả bạn Trinh đúng vì bạn Trinh nắm được kiến thức t0 = 1, từ đó bạn đã biến đổi chính xác và xác định hệ số của lũy thừa bậc 0 đúng và kết quả hệ số tự do tìm được đúng.

Bài viết trên đã trình bày tổng quát các kiến thức liên quan đến hệ số tự do của đa thức một biến, đưa ra các dạng bài tập thường gặp về hệ số tự do. Bên cạnh đó cũng đưa ra một số bài tập vận dụng. Hy vọng những lý thuyết trên sẽ giúp các bạn học sinh nắm vững kiến thức về hệ số tự do và vận dụng vào giải các bài tập .

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang