I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ
1. Đạo hàm là gì?
Trong giải tích toán học, đạo hàm của một hàm số thực chất là sự mô tả sự biến thiên của hàm số tại một điểm nào đó. Trong vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của một điểm chuyển động hoặc cường độ dòng điện tức thời tại một điểm trên dây dẫn. Trong hình học đạo hàm là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị biểu diễn hàm số. Tiếp tuyến đó là xấp xỉ tuyến tính gần đúng nhất của hàm ở gần giá trị đầu vào.
2. Hàm phân thức là gì?
Một hàm một biến được gọi là một hàm phân thức khi và chỉ khi nó có thể viết được dưới dạng
Trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức đối với x và Q(x) không phải là một đa thức không. Tập xác định của hàm số là tập hợp các điểm mà tại đó mẫu thức Q(x) khác 0. Tất cả các đa thức đều là phân thức với x. Một hàm số không viết được dưới dạng này thì không phải là một phân thức (ví dụ, x + 1). Một biểu thức có dạng được gọi là một biểu thức phân thức. Trong đại số trừu tượng, x không bắt buộc phải là biến số. Một phương trình phân thức là một phương trình trong đó hai biểu thức phân thức bằng nhau. Các biểu thức đó cũng phải tuân theo các quy tắc trong phân số. Phương trình này có thể được giải bằng luật ba.
II. CÁCH TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHÂN THỨC DỄ DÀNG, CHÍNH XÁC
1. Đạo hàm phân thức bậc 1/ bậc 1
Giải: rằng chúng ta có một hàm phân thức đơn giản như sau:
f(x) = P(x) / Q(x)
với P(x) và Q(x) là các đa thức không đồng thời Q(x) khác 0. Ta có thể tính được đạo hàm của hàm f(x) bằng cách sử dụng quy tắc sau đây:
f'(x) = [P'(x) * Q(x) – P(x) * Q'(x)] / [Q(x)]^2
Trong đó, P'(x) và Q'(x) lần lượt là đạo hàm của P(x) và Q(x).
- Đạo hàm phân thức bậc cao
Để tính đạo hàm của một hàm phân thức bậc cao hơn, ta có thể sử dụng các quy tắc sau:
- Quy tắc tổng: Nếu f(x) = g(x) + h(x), ta có f'(x) = g'(x) + h'(x).
- Quy tắc tích: Nếu f(x) = g(x) * h(x), ta có f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x).
- Quy tắc thương: Nếu f(x) = g(x) / h(x), ta có f'(x) = [g'(x) * h(x) – g(x) * h'(x)] / [h(x)]^2.
Tổng quát hơn, ta có thể sử dụng quy tắc đạo hàm của một tổng hay tích để tính đạo hàm của một hàm phân thức bậc cao.
Đạo hàm phân thức bậc cao
Để tính đạo hàm bậc cao của một phân thức, ta có thể sử dụng các phương pháp khác nhau như phương pháp rút gọn mẫu thức, phân rã thành tổng các phân thức hữu tỉ, hoặc sử dụng công thức đạo hàm của các hàm cơ bản và quy tắc tính đạo hàm của tích và thương.
Ví dụ: Tính đạo hàm bậc hai của hàm số f(x) = (x^2 + 1)/(x – 1)
Ta có thể sử dụng công thức đạo hàm của phân thức và quy tắc tính đạo hàm của thương để tính đạo hàm bậc hai của hàm số f(x).
f(x) = (x^2 + 1)/(x – 1)
f'(x) = [(x – 1)(2x) – (x^2 + 1)(1)]/(x – 1)^2
f”(x) = [(x – 1)^2(2) – 2(x – 1)(2x) + 2(x^2 + 1)(1)]/(x – 1)^4
f”(x) = [2(x^2 – 2x + 1) – 4x + 2x^2 + 2]/(x – 1)^4
f”(x) = [4x^2 – 8x + 4]/(x – 1)^4
f”(x) = 4(x^2 – 2x + 1)/(x – 1)^4
Từ đây, ta có thể rút gọn mẫu thức hoặc phân tích thành các phân thức hữu tỉ để tìm kết quả cuối cùng.
- Trong đó Q'(x) là đạo hàm của Q(x).
- Bước 2: Tìm đạo hàm của tử số P(x)
- Bước 3: Tính đạo hàm của hàm phân thức bằng công thức
f'(x) = [Q(x)P'(x) – P(x)Q'(x)] / [Q(x)]^2
- Chú ý: Phải kiểm tra điều kiện Q(x) ≠ 0 tại mọi điểm x trên miền xác định của hàm số trước khi tính đạo hàm của hàm phân thức.
Bài tập ví dụ
Hãy tính đạo hàm của hàm số f(x) = (x^2 + 1) / x
- Bước 1: Tìm đạo hàm của mẫu số Q(x)
Vì Q(x) = x nên Q'(x) = 1
- Bước 2: Tìm đạo hàm của tử số P(x)
Vì P(x) = x^2 + 1 nên P'(x) = 2x
- Bước 3: Tính đạo hàm của hàm phân thức bằng công thức
f'(x) = [Q(x)P'(x) – P(x)Q'(x)] / [Q(x)]^2
= [(x)(2x) – (x^2 + 1)(1)] / [x]^2
= [x^2 – 1] / [x]^2
Vậy đạo hàm của hàm số f(x) = (x^2 + 1) / x là f'(x) = [x^2 – 1] / [x]^2
KẾT LUẬN
Như vậy, đạo hàm của một hàm phân thức có thể được tính toán dễ dàng và chính xác bằng cách sử dụng các công thức và quy tắc đạo hàm cơ bản, cùng với các phương pháp rút gọn mẫu thức và phân tích thành các phân thức hữu tỉ. Việc nắm vững những kiến thức này sẽ giúp cho việc giải các bài toán liên quan đến đạo hàm của hàm phân thức trở nên dễ dàng và chính xác hơn.
